カオスな世界

ロジスティック写像

x(t+1) = a * x(t) * (1- x(t)) を考えます．この式は，生物の数の増減を表すモデルとして用いられ，ロジスティック写像と呼ばれています．

ここで t は 0, 1, 2, …の値をとります．x(0) と a を決めると x(1) （= a * x(0) * (1 - x(0)) が求まります．これを繰り返すと x(1), x(2), …　が順次求まります．a の値を変えていった場合の x(10000) ～x(11000）の値を左の図に示します．

a が３ぐらいまでは x(10000)～x(11000) が１点になっていることがわかります．a が３辺りで１点になっていた x が２点になっています．それが４点，８点，１６点と倍になっていき a = 4 では x(10000)～ x(11000) は０から１の間を埋め尽くしています．

このような状態をカオスといいます．

カオスの応用（短期予測）

２つの波形を見てください．

横軸は時刻tで縦軸は何かの観測値（x(t), 例えば毎日の株価の値，ある地点での温度，インフルエンザの患者数などです．最大値が１に，最小値が０になるように操作しています）

２つの波形を見ただけでは違いはわかりません．

時間波形では違いが分からない場合は，フーリエ変換（注１）というのを行い周波数成分をみます．

周波数成分を見ても違いがわかりません？？

次に埋め込みという作業を行ってみます．時間波形のデータから連続する2点（x(t)とｘ(t+1)とする）をとってきて2次元平面の点としてプロットします．全てのデータに対してその作業を行うと，時間波形１のデータは左図へ，時間波形２のデータは右図へと変換されます．

波形１埋め込みの図からは今の状態から次の状態（ x(t) から x(t+1)）への変化ルールが見えませんが，波形２の埋め込み（右図）からはルールが分かります．すなわち，こちらは今の状態 (x(t)) がわかれば次の状態 (x(t+1)) が分かることを意味します．

例えば，株価の毎日の変動データを取ってきて「埋め込み２」のような構造が分かれば，今日の株価 (x(t)) から明日の株価　(x(t+1)) が正確に予測できることを意味します．

フーリエ変換とは？

左図の時間波形（sin(2π*30*t）+sin(2π*60*t)をグラフ表示している．）があるときに，フーリエ変換すると右図の周波数成分の図が得られる．

元の式（sin(2π*30*t）+sin(2π*60*t)）の周波数に対応する３０と６０にピークが現れている．

従って，式が分からなくても時間波形データより，周波数３０と６０の合成波であることがフーリエ変換よりわかる．