球面調和関数　Spherical Harmonic Functions
（香川大学　石井知彦研究室）

令和8年8月12日　更新

球面調和関数について

s軌道（ℓ = 0）
ℓ = 0, m = 0
p軌道（ℓ = 1）
ℓ = 1, m = 1 (px)
ℓ = 1, m = 0 (pz)
ℓ = 1, m = -1 (py)
d軌道（ℓ = 2）
ℓ = 2, m = 2 (dx2 - y2)
ℓ = 2, m = 1 (dxz)
ℓ = 2, m = 0 (dz2)
ℓ = 2, m = -1 (dyz)
ℓ = 2, m = -2 (dxy)
f軌道（ℓ = 3）
ℓ = 3, m = 3 (fx( x2 - 3y2 ))
ℓ = 3, m = 2 (fz( x2 - y2 ))
ℓ = 3, m = 1 (fx( 5z2 - r2 ))
ℓ = 3, m = 0 (fz( 5z2 - 3r2 ))
ℓ = 3, m = -1 (fy( 5z2 - r2 ))
ℓ = 3, m = -2 (fxyz)
ℓ = 3, m = -3 (fy( 3x2 - y2 ))
g軌道（ℓ = 4）
ℓ = 4, m = 4 (x4 - 6x2y2 + y4)
ℓ = 4, m = 3 (xz(x2 - 3y2))
ℓ = 4, m = 2 ((x2 - y2)(7z2 - r2))
ℓ = 4, m = 1 (xz(7z2 - 3r2))
ℓ = 4, m = 0 (35z4 - 30z2r2 + 3r4)
ℓ = 4, m = -1 (yz(7z2 - 3r2))
ℓ = 4, m = -2 (xyz(7z2 - r2))
ℓ = 4, m = -3 (yz(3x2 - y2))
ℓ = 4, m = -4 (xy(x2 - y2))
h軌道（ℓ = 5）
ℓ = 5, m = 5 (x(x4 - 10x2y2 + 5y4))
ℓ = 5, m = 4 (z(x4 - 6x2y2 + y4))
ℓ = 5, m = 3 (x(x2 - 3y2)(9z2 - r2))
ℓ = 5, m = 2 (z(x2 - y2)(3z2 - r2))
ℓ = 5, m = 1 (x(21z4 - 14z2r2 + r4))
ℓ = 5, m = 0 (z(63z4 - 70z2r2 + 15r4))
ℓ = 5, m = -1 (y(21z4 - 14z2r2 + r4))
ℓ = 5, m = -2 (xyz(3z2 - r2))
ℓ = 5, m = -3 (y(3x2 - y2)(9z2 - r2))
ℓ = 5, m = -4 (xyz(x2 - y2))
ℓ = 5, m = -5 (y(5x4 - 10x2y2 + y4))
i軌道（ℓ = 6）
ℓ = 6, m = 6 (x6 - 15x4y2 + 15x2y4 - y6)
ℓ = 6, m = 5 (xz(x4 - 10x2y2 + 5y4))
ℓ = 6, m = 4 ((x4 - 6x2y2 + y4)(11z2 - r2))
ℓ = 6, m = 3 (xz(x2 - 3y2)(11z2 - 3r2))
ℓ = 6, m = 2 ((x2 - y2)(33z4 - 18z2r2 + r4))
ℓ = 6, m = 1 (xz(33z4 - 30z2r2 + 5r4))
ℓ = 6, m = 0 (231z6 - 315z4r2 + 105z2r4 - 5r6)
ℓ = 6, m = -1 (yz(33z4 - 30z2r2 + 5r4))
ℓ = 6, m = -2 (xy(33z4 - 18z2r2 + r4))
ℓ = 6, m = -3 (yz(3x2 - y2)(11z2 - 3r2))
ℓ = 6, m = -4 (xy(x2 - y2)(11z2 - r2))
ℓ = 6, m = -5 (yz(5x4 - 10x2y2 + y4))
ℓ = 6, m = -6 (xy(3x4 - 10x2y2 + 3y4))
k軌道（ℓ = 7）※注意、軌道角運動量量子数の分光学的表記では、jを用いず、iの次をkと表します。これは歴史的な表記上の慣例です。jが省略された理由については諸説ありますが、一般には、一部の言語や字体において i と j が区別しにくかったことに由来するとされています。米国国立標準技術研究所（NIST）においても、「letter j being omitted」と記載されています。
ℓ = 7, m = 7 (x(x6 - 21x4y2 + 35x2y4 - 7y6))
ℓ = 7, m = 6 (z(x6 - 15x4y2 + 15x2y4 - y6))
ℓ = 7, m = 5 (x(x4 - 10x2y2 + 5y4)(13z2 - r2))
ℓ = 7, m = 4 (z(x4 - 6x2y2 + y4)(13z2 - 3r2))
ℓ = 7, m = 3 (x(x2 - 3y2)(143z4 - 66z2r2 + 3r4))
ℓ = 7, m = 2 (z(x2 - y2)(143z4 - 110z2r2 + 15r4))
ℓ = 7, m = 1 (x(429z6 - 495z4r2 + 135z2r4 - 5r6))
ℓ = 7, m = 0 (z(429z6 - 693z4r2 + 315z2r4 - 35r6))
ℓ = 7, m = -1 (y(429z6 - 495z4r2 + 135z2r4 - 5r6))
ℓ = 7, m = -2 (xyz(143z4 - 110z2r2 + 15r4))
ℓ = 7, m = -3 (y(3x2 - y2)(143z4 - 66z2r2 + 3r4))
ℓ = 7, m = -4 (xyz(x2 - y2)(13z2 - 3r2))
ℓ = 7, m = -5 (y(5x4 - 10x2y2 + y4)(13z2 - r2))
ℓ = 7, m = -6 (xyz(3x4 - 10x2y2 + 3y4))
ℓ = 7, m = -7 (y(7x6 - 35x4y2 + 21x2y4 - y6))
l軌道（ℓ = 8）
ℓ = 8, m = 8 (x8 - 28x6y2 + 70x4y4 - 28x2y6 + y8)
ℓ = 8, m = 7 (xz(x6 - 21x4y2 + 35x2y4 - 7y6))
ℓ = 8, m = 6 ((x6 - 15x4y2 + 15x2y4 - y6)(15z2 - r2))
ℓ = 8, m = 5 (xz(x4 - 10x2y2 + 5y4)(5z2 - r2))
ℓ = 8, m = 4 ((x4 - 6x2y2 + y4)(65z4 - 26z2r2 + r4))
ℓ = 8, m = 3 (xz(x2 - 3y2)(39z4 - 26z2r2 + 3r4))
ℓ = 8, m = 2 ((x2 - y2)(143z6 - 143z4r2 + 33z2r4 - r6))
ℓ = 8, m = 1 (xz(715z6 - 1001z4r2 + 385z2r4 - 35r6))
ℓ = 8, m = 0 (6435z8 - 12012z6r2 + 6930z4r4 - 1260z2r6 + 35r8)
ℓ = 8, m = -1 (yz(715z6 - 1001z4r2 + 385z2r4 - 35r6))
ℓ = 8, m = -2 (xy(143z6 - 143z4r2 + 33z2r4 - r6))
ℓ = 8, m = -3 (yz(3x2 - y2)(39z4 - 26z2r2 + 3r4))
ℓ = 8, m = -4 (xy(x2 - y2)(65z4 - 26z2r2 + r4))
ℓ = 8, m = -5 (yz(5x4 - 10x2y2 + y4)(5z2 - r2))
ℓ = 8, m = -6 (xy(3x4 - 10x2y2 + 3y4)(15z2 - r2))
ℓ = 8, m = -7 (yz(7x6 - 35x4y2 + 21x2y4 - y6))
ℓ = 8, m = -8 (xy(x6 - 7x4y2 + 7x2y4 - y6))
m軌道（ℓ = 9）
ℓ = 9, m = 9 (x(x8 - 36x6y2 + 126x4y4 - 84x2y6 + 9y8))
ℓ = 9, m = 8 (z(x8 - 28x6y2 + 70x4y4 - 28x2y6 + y8))
ℓ = 9, m = 7 (x(x6 - 21x4y2 + 35x2y4 - 7y6)(17z2 - r2))
ℓ = 9, m = 6 (z(x6 - 15x4y2 + 15x2y4 - y6)(17z2 - 3r2))
ℓ = 9, m = 5 (x(x4 - 10x2y2 + 5y4)(85z4 - 30z2r2 + r4))
ℓ = 9, m = 4 (z(x4 - 6x2y2 + y4)(17z4 - 10z2r2 + r4))
ℓ = 9, m = 3 (x(x2 - 3y2)(221z6 - 195z4r2 + 39z2r4 - r6))
ℓ = 9, m = 2 (z(x2 - y2)(221z6 - 273z4r2 + 91z2r4 - 7r6))
ℓ = 9, m = 1 (x(2431z8 - 4004z6r2 + 2002z4r4 - 308z2r6 + 7r8))
ℓ = 9, m = 0 (z(12155z8 - 25740z6r2 + 18018z4r4 - 4620z2r6 + 315r8))
ℓ = 9, m = -1 (y(2431z8 - 4004z6r2 + 2002z4r4 - 308z2r6 + 7r8))
ℓ = 9, m = -2 (xyz(221z6 - 273z4r2 + 91z2r4 - 7r6))
ℓ = 9, m = -3 (y(3x2 - y2)(221z6 - 195z4r2 + 39z2r4 - r6))
ℓ = 9, m = -4 (xyz(x2 - y2)(17z4 - 10z2r2 + r4))
ℓ = 9, m = -5 (y(5x4 - 10x2y2 + y4)(85z4 - 30z2r2 + r4))
ℓ = 9, m = -6 (xyz(3x4 - 10x2y2 + 3y4)(17z2 - 3r2))
ℓ = 9, m = -7 (y(7x6 - 35x4y2 + 21x2y4 - y6)(17z2 - r2))
ℓ = 9, m = -8 (xyz(x6 - 7x4y2 + 7x2y4 - y6))
ℓ = 9, m = -9 (y(9x8 - 84x6y2 + 126x4y4 - 36x2y6 + y8))
n軌道（ℓ = 10）
ℓ = 10, m = 10
ℓ = 10, m = 9
ℓ = 10, m = 8
ℓ = 10, m = 7
ℓ = 10, m = 6
ℓ = 10, m = 5
ℓ = 10, m = 4
ℓ = 10, m = 3
ℓ = 10, m = 2
ℓ = 10, m = 1
ℓ = 10, m = 0
ℓ = 10, m = -1
ℓ = 10, m = -2
ℓ = 10, m = -3
ℓ = 10, m = -4
ℓ = 10, m = -5
ℓ = 10, m = -6
ℓ = 10, m = -7
ℓ = 10, m = -8
ℓ = 10, m = -9
ℓ = 10, m = -10
その他（ℓ = 15）
ℓ = 15, m = 0
ℓ = 15, m = 5
ℓ = 15, m = 10
ℓ = 15, m = 15
その他（ℓ = 20）
ℓ = 20, m = 0
ℓ = 20, m = 10
ℓ = 20, m = 20
その他（ℓ = 25）
ℓ = 25, m = 5
ℓ = 25, m = 15
ℓ = 25, m = 25
その他（ℓ = 30）
ℓ = 30, m = 15
ℓ = 30, m = 30
その他（ℓ = 35）
ℓ = 35, m = 5
ℓ = 35, m = 20
ℓ = 35, m = 35
その他（ℓ = 40）
ℓ = 40, m = 20
ℓ = 40, m = 40
その他（ℓ = 50）
ℓ = 50, m = 25
その他（ℓ = 60）
ℓ = 60, m = 30
その他（m = 0）
ℓ = 11, m = 0
ℓ = 12, m = 0
ℓ = 13, m = 0
ℓ = 14, m = 0
ℓ = 15, m = 0
ℓ = 16, m = 0
ℓ = 17, m = 0
ℓ = 18, m = 0
ℓ = 19, m = 0
ℓ = 20, m = 0
ℓ = 30, m = 0
ℓ = 40, m = 0

球面調和関数と原子軌道

例えば、水素原子の波動関数を求めることを考えます。 水素原子では、原子核である陽子と電子との間に働くクーロン引力を 中心力ポテンシャルとしてハミルトニアンを構成し、 時間に依存しないシュレディンガー方程式を解くことによって、 電子の波動関数を求めることができます。

水素原子のポテンシャルは原子核からの距離 r のみに依存する 球対称なポテンシャルであるため、直交座標 (x, y, z) よりも、 球座標 (r, θ, φ) （三次元の極座標）を用いると便利です。 このとき、シュレディンガー方程式に含まれるラプラシアンも 球座標に適した形に変換します。

球座標で表したシュレディンガー方程式は変数分離することができ、 波動関数は、動径方向を表す r だけの関数である動径関数 Rnℓ(r) と、角度 θ, φ だけの関数である 球面調和関数 Yℓm(θ, φ) の積として、

ψnℓm(r, θ, φ) = Rnℓ(r) Yℓm(θ, φ)

と表すことができます。 ここで現れる Yℓm(θ, φ) が 球面調和関数です。

動径方向の方程式を解く過程では陪ラゲール多項式 （associated Laguerre polynomials）が現れます。 一方、角度方向の方程式を解くと、θ に関する部分には 陪ルジャンドル多項式（associated Legendre polynomials）が現れ、 φ に関する部分と組み合わせることによって、 球面調和関数 Yℓm(θ, φ) が得られます。

球面調和関数は、方位量子数 ℓ と磁気量子数 m によって指定されます。 方位量子数 ℓ は、

ℓ = 0, 1, 2, 3, ...

の値をとります。 原子軌道の分光学的表記では、 ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... に対して、 それぞれ s, p, d, f, g, h, i, k, ... 軌道と表します。 前述の通り、jは使いません。

また、ある方位量子数 ℓ に対して、磁気量子数 m は、

m = -ℓ, -ℓ+1, ..., -1, 0, 1, ..., ℓ-1, ℓ

の値をとります。 したがって、一つの ℓ に対して、 2ℓ+1 個の異なる m の値が存在し、 それぞれに対応する球面調和関数があります。

球面調和関数は波動関数の角度方向への依存性を表しており、 原子軌道の形や方向性、角度方向の節の構造を決定する重要な役割を持っています。 例えば、ℓ = 0 は s 軌道、ℓ = 1 は p 軌道、 ℓ = 2 は d 軌道、ℓ = 3 は f 軌道の角度部分に対応します。

したがって、主量子数 n と方位量子数 ℓ によって定まる 動径関数 Rnℓ(r) と、 方位量子数 ℓ および磁気量子数 m によって定まる 球面調和関数 Yℓm(θ, φ) を 組み合わせることによって、水素原子の原子軌道を表す 波動関数 ψnℓm を得ることができます。

このページに示した図は、球面調和関数の角度依存性を 三次元的に可視化したものです。 したがって、これらの図は動径関数を含む 水素原子の波動関数全体を表したものではありません。 球面調和関数は、原子軌道の「形」や「方向性」を理解するための 重要な部分を表しています。

通常、原子軌道としてよく目にするのは s, p, d, f 軌道ですが、 数学的には方位量子数 ℓ に上限はなく、 ℓ の値をさらに大きくした球面調和関数も考えることができます。 ℓ が大きくなるにつれて角度方向の節の数が増加し、 球面調和関数の形は次第に複雑になります。 このページでは、通常の s, p, d, f 軌道だけでなく、 g, h, i, k 軌道、さらに大きな ℓ の値についても、 球面調和関数の形を示しています。

※「球面調和関数.exe」を用いました。
石井知彦（香川大学）