電子は質量を持った粒子であり、また一方で波動しての性質も併せ持つ。 あるエネルギーを得て加速した電子の運動量はド・ブロイの関係によって波長と結びついている。 しかしながら、数 kV で加速された電子の速度は光速の数割に達するため、単純に静止質量とド・ブロイの関係式から導出した場合の波長は、実際の波長と異なる。 正確に波長を導出するためには、相対論補正が必要となる。ここではその求め方を記述する。

$m_{e}$ : 電子の静止質量。9.1093897e-31 kg $e$：素電荷。1.60217653e-19 C $c$：光速。2.99792458e8 m/s $h$：プランク定数。6.6260755e-34 Js

特殊相対性理論によれば、運動している物体の（静止エネルギーも含めた）全エネルギー $E$、および 運動量 $p$ は以下となる。
$$ E = m_0 \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} c^2 = m_0 \gamma c^2　　　(Eq.1) $$ $$ p = m_0 \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} v = m_0 \gamma v　　　(Eq.2) $$ ここで $v$ は速度、$\beta$ $(= v/c)$ は速度と光速との比、$\gamma$ $(=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}})$ はローレンツ因子である。
いま、加速されずに静止している電子の場合（つまり $v=0$ ）では、全エネルギー は $ m_0 c^2 $ であるが、 加速によるエネルギー $\Delta E$ が加わると全エネルギーは、 $$ E = m_0 c^2 + \Delta E　　　　　(Eq.3) $$ となる。例えば 100kV の電圧で加速された電子の全エネルギーは $$ E = m_0 c^2 + (100 \times 10^3{\rm V})* e $$ である。
加速のエネルギー $\Delta E$ が与えられた場合の電子のド・ブロイ波長 $\lambda$ を求めるのを、以下の方針で行う。
　（1）まず、$(Eq.1)$と$(Eq.3)$ から、$\gamma, \beta$ を $\Delta E$ で表す。
　（2）次に、$(Eq.2)$ から、運動量 $p$ を出す。
　（3) 最後に、ド・ブロイの関係式 $ p = h/\lambda $ から 波長 $\lambda$ を出す。

$(Eq.1)$と$(Eq.3)$ から $$ ( E = ) \quad m_0 \gamma c^2 = m_0 c^2 + \Delta E $$ $$ \qquad \Leftrightarrow \qquad \gamma = \frac{ m_0 c^2 + \Delta E }{ m_0 c^2 } $$ $$ \qquad \Leftrightarrow \qquad \gamma^{-2} \quad ( = 1 - \beta^2 ) \quad = \left( \frac{ m_0 c^2 }{ m_0 c^2 + \Delta E } \right)^2 $$ $$ \qquad \Leftrightarrow \qquad \beta^{2} = 1 - \left( \frac{ m_0 c^2 }{ m_0 c^2 + \Delta E } \right)^2　　　　　　(Eq.4) $$ $$ \qquad \Leftrightarrow \qquad \beta^{2} = = \frac{ 2 m_0 c^2 \Delta E + \Delta E ^2 }{ ( m_0 c^2 + \Delta E )^2 } = \frac{ (2 m_0 c^2 + \Delta E) \Delta E }{ ( m_0 c^2 + \Delta E )^2 } 　　　(Eq.5) $$ $(Eq.4)$ をルートすれば、 $$ \beta = \sqrt{ 1 - \left( \frac{ m_0 c^2 }{ m_0 c^2 + \Delta E } \right)^2 } = \sqrt{ 1 - \left( \frac{ m_0 c^2 + \Delta E }{ m_0 c^2 } \right)^{-2} } = \sqrt{ 1 - \left( 1 + \frac{ \Delta E }{ m_0 c^2 } \right)^{-2} } 　　　(Eq.6) $$ $(Eq.5)$ をルートすれば、 $$ \beta = \frac{ \sqrt{ \left( 2 m_0 c^2 + \Delta E \right) \Delta E } }{ m_0 c^2 + \Delta E }　　　(Eq.7)$$ 速度 $v \left( = c \beta \right) $ を $(Eq.6), (Eq.7)$ からそれぞれ求めておくと、
$(Eq.6)$ を使えば、 $$ v = c \beta = c \sqrt{ 1 - \left( 1 + \frac{ \Delta E }{ m_0 c^2 } \right)^{-2} }　　　(Eq.8)$$ $(Eq.7)$ を使えば、 $$ v = c \beta = c \frac{ \sqrt{ \left( 2 m_0 c^2 + \Delta E \right) \Delta E } }{ m_0 c^2 + \Delta E }　　　(Eq.9)$$

$(Eq.2)$ に上で求めた $ \gamma $，$(Eq.9)$ の $v$ を代入すれば、 $$ p = m_0 \gamma v = m_0 \frac{ m_0 c^2 + \Delta E }{ m_0 c^2 } c \frac{ \sqrt{ \left( 2 m_0 c^2 + \Delta E \right) \Delta E } }{ m_0 c^2 + \Delta E } = \frac{ \sqrt{ \left( 2 m_0 c^2 + \Delta E \right) \Delta E } }{ c } 　　　(Eq.10)$$

$ p = h / \lambda $ より $$ \lambda = \frac{ h }{ p } = \frac{ h c }{ \sqrt{ \left( 2 m_0 c^2 + \Delta E \right) \Delta E } } 　　　(Eq.11)$$ この $(Eq.11)$ に、実際に数値を代入すれば、 $$ \lambda [ m ]= \frac{ 1.98645 \times 10^{-25} {\rm Jm} }{ \sqrt{ \left( 1.63742 \times 10^{-13} {\rm J} + \Delta E \right) \Delta E } } 　　　(Eq.12)$$ 加速電圧 $V_{acc} [ {\rm V} ] $ で表したければ分母分子を $e$ で除して、 $$ \lambda [ m ]= \frac{ (1.98645 \times 10^{-25} {\rm Jm} )/e }{ \sqrt{ \left\{ (1.63742 \times 10^{-13} {\rm J})/e + \Delta E /e \right\} \Delta E /e } }$$ $$ \qquad = \frac{ 1.23984 \times 10^{-6} {\rm Vm} }{ \sqrt{ \left( 1.02200 \times 10^6 {\rm V} + V_{acc} \right) V_{acc} } } \qquad = \frac{ 1.22643 \times 10^{-9} {\rm m} }{ \sqrt{ \left( 1 + 9.78475 \times 10^{-7} V_{acc} \right) V_{acc} } }　　　(Eq.13) $$ これで、電子の波長を求める式が得られた。めでたしめでたし。

実際に、1 keV 〜 8 GeV の加速エネルギーにて、電子の波長がどうなるかを計算したものをアップロードしていますので参考にしてください。 計算では、上記の相対論補正を行った場合（青）と、行わない場合の両方を示して比較しています。これによると、 相対論補正をすると波長が短くなります。特に 500kV以上の加速電圧にて差が顕著になるようです。

上述 $(Eq.1)$ の $E = m_0 \gamma c^2 $ と、古典物理学における運動エネルギー $ \frac{1}{2} m_{0} v^2$ とは以下のように結び付けられる。
まず、$ f = (1+x)^\alpha $ と置き、これを マクローリン展開してみと、 $$ f = f(0) + f'(0) x + \frac{ f''(0) }{ 2! } x^2 + \frac{ f^{(3)}(0) }{ 3! } x^3 + \cdots + \frac{ f^{(n)}(0) }{ n! } x^n + \cdots $$ $$ \quad = 1 + \alpha (1)^{ \alpha -1 } x + \frac{ \alpha (\alpha-1) (1)^{ \alpha -2 } }{2!} x^2 + \frac{ \alpha (\alpha-1) (\alpha-2) (1)^{ \alpha -3 } }{3!} x^3 + \cdots $$ これに、$\alpha = -\frac{1}{2}$，$x = -\beta^2$ を代入すれば $ \gamma $ になるのでやってみると、 $$ \gamma \quad \left( = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = (1-\beta^2)^{-\frac{1}{2}} \right) $$ $$ \quad = 1 + \left( -\frac{1}{2} \right) (-\beta^2) + \left( -\frac{1}{2} \right) \left( -\frac{3}{2} \right) \left( \frac{1}{2!} \right) (-\beta^2)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right) \left( -\frac{3}{2} \right) \left( -\frac{5}{2} \right) \left( \frac{1}{3!} \right) (-\beta^2)^3 + \cdots $$ $$ \quad = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{2^7} \beta^8 + \cdots $$ これを全エネルギーの式 $(Eq.1)$ に代入すれば、 $$ E = m_0 \gamma c^2 = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 \beta^2 c^2 + \frac{3}{8} m_0 \beta^4 c^2 + \frac{5}{16} m_0 \beta^6 c^2 + \cdots $$ $$ \quad = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2 + \frac{3}{8} \frac{m_0}{c^2} v^4 + \frac{5}{16} \frac{m_0}{c^4} v^6 + \cdots$$ ここで、$ \beta^4 $ より多次の項（３項以降）は十分小さいとして無視すれば、 $$ \quad = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2 $$ が得られ、止まっているときの静止エネルギー $ m_0 c^2 $ からの増分として、力学エネルギー $ \frac{1}{2} m_0 v^2 $ が得られる。

上述の $(Eq.1)$ と $(Eq.2)$ とから（両者を２乗して比べると）
$$ E^2 = m_0^2 \frac{1}{1-\beta^2} c^4 = m_0^2 \frac{c^2}{c^2-v^2} c^4 $$ $$ p^2 = m_0^2 \frac{1}{1-\beta^2} v^2 = m_0^2 \frac{c^2}{c^2-v^2} v^2 $$ 後者に $c^2$ を掛けて差をとれば、 $$ E^2 - c^2 p^2 = m_0^2 \frac{c^2}{c^2-v^2} ( c^4 - c^2 v^2) = m_0^2 c^4 $$ $$ \qquad \Leftrightarrow \qquad E^2 = m_0^2 c^4 + c^2 p^2 　　　(Eq.14)$$ となる。この式は、全エネルギーと運動量を関係づける重要な式であり、しばし登場する。

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